Diferença entre FFT e DFT

Transformação rápida de Fourier (FFT) vs. Transformação discreta de Fourier (DFT)

Tecnologia e ciência andam de mãos dadas. E não há melhor exemplo disso do que o processamento de sinal digital (DSP). O processamento de sinal digital é o processo para otimizar a precisão e a eficiência das comunicações digitais. Tudo são dados - sejam imagens de sondas do espaço sideral ou vibrações sísmicas e qualquer outra coisa. Converter esses dados em formato legível por humanos usando computadores é processamento de sinal digital. É uma das tecnologias mais poderosas que combina teoria matemática e implementação física. O estudo do DSP começou como um curso de graduação em engenharia elétrica, mas, com o tempo, tornou-se um potencial trocador de jogos no campo da ciência e da engenharia. Basta dizer que, sem o DSP, engenheiros e cientistas podem deixar de existir.

A transformada de Fourier é um meio de mapear um sinal, no domínio do tempo ou espaço, em seu espectro no domínio da frequência. Os domínios de tempo e frequência são apenas formas alternativas de representar sinais e a transformada de Fourier é o relacionamento matemático entre as duas representações. Uma mudança de sinal em um domínio também afetaria o sinal no outro domínio, mas não necessariamente da mesma maneira. A transformada discreta de Fourier (DFT) é uma transformação semelhante à transformada de Fourier usada com sinais digitalizados. Como o nome sugere, é a versão discreta do FT que vê tanto o domínio do tempo quanto o domínio da frequência como periódicos. A Transformada Rápida de Fourier (FFT) é apenas um algoritmo para o cálculo rápido e eficiente da DFT.

Transformação discreta de Fourier (DFT)

A Transformada Discreta de Fourier (DFT) é uma das ferramentas mais importantes no processamento de sinais digitais que calcula o espectro de um sinal de duração finita. É muito comum codificar as informações nos sinusóides que formam um sinal. No entanto, em algumas aplicações, a forma de uma forma de onda no domínio do tempo não é aplicada a sinais. Nesse caso, o conteúdo da frequência do sinal se torna muito útil de outras maneiras que não os sinais digitais. A representação de um sinal digital em termos de seu componente de frequência em um domínio de frequência é importante. O algoritmo que transforma os sinais do domínio do tempo nos componentes do domínio da frequência é conhecido como transformada discreta de Fourier, ou DFT.

Transformação rápida de Fourier (FFT)

A Fast Fourier Transform (FFT) é uma implementação da DFT que produz quase os mesmos resultados que a DFT, mas é incrivelmente mais eficiente e muito mais rápida, o que geralmente reduz significativamente o tempo de computação. É apenas um algoritmo computacional usado para computação rápida e eficiente da DFT. Várias técnicas rápidas de computação de DFT conhecidas coletivamente como a transformada rápida de Fourier, ou FFT. Gauss foi o primeiro a propor a técnica para calcular os coeficientes em uma trigonométrica da órbita de um asteroide em 1805. No entanto, não foi até 1965 que um artigo seminal de Cooley e Tukey chamou a atenção da comunidade de ciência e engenharia, que também estabeleceu a base da disciplina de processamento de sinal digital.

Diferença entre FFT e DFT

1. Significado de FFT e DFT

Transformação discreta de Fourier, ou simplesmente referida como DFT, é o algoritmo que transforma os sinais do domínio do tempo nos componentes do domínio da frequência. DFT, como o nome sugere, é verdadeiramente discreto; conjuntos de dados discretos no domínio do tempo são transformados em representação de frequência discreta. Em termos simples, estabelece uma relação entre a representação no domínio do tempo e a representação no domínio da frequência. Fast Fourier Transform, ou FFT, é um algoritmo computacional que reduz o tempo e a complexidade de grandes transformações. FFT é apenas um algoritmo usado para o cálculo rápido da DFT.

2. Algoritmo de FFT e DFT

O algoritmo FFT mais comumente usado é o algoritmo Cooley-Tukey, que recebeu o nome de J. W. Cooley e John Tukey. É um algoritmo de divisão e conquista para o cálculo da máquina de séries complexas de Fourier. Ele divide o DFT em DFTs menores. Outros algoritmos da FFT incluem o algoritmo de Rader, o algoritmo de transformação Winograd Fourier, o algoritmo de transformação Z Chirp, etc. Os algoritmos DFT podem ser programados em computadores digitais de uso geral ou implementados diretamente por hardware especial. O algoritmo FFT é usado para calcular o DFT de uma sequência ou seu inverso. Uma DFT pode ser realizada como O (N²) na complexidade do tempo, enquanto a FFT reduz a complexidade do tempo na ordem de O (NlogN).

3. Aplicações de FFT e DFT

O DFT pode ser usado em muitos sistemas de processamento digital em várias aplicações, como cálculo do espectro de frequência de um sinal, resolução de aplicações diferenciais parciais, detecção de alvos de ecos de radar, análise de correlação, computação de multiplicação polinomial, análise espectral e muito mais. A FFT tem sido amplamente utilizada para medições acústicas em igrejas e salas de concerto. Outras aplicações da FFT incluem análise espectral em medições de vídeo analógico, multiplicação grande de números inteiros e polinomiais, algoritmos de filtragem, computação de distribuições isotópicas, cálculo de coeficientes da série de Fourier, cálculo de convoluções, geração de ruído de baixa frequência, projeto de cinoformas, execução de matrizes estruturadas densas, processamento de imagem e Mais.

FFT vs. DFT: Gráfico de comparação

Resumo de FFT vs. DFT

Em poucas palavras, a Transformação Discreta de Fourier desempenha um papel fundamental na física, pois pode ser usada como uma ferramenta matemática para descrever a relação entre o domínio do tempo e a representação no domínio da frequência de sinais discretos. É um algoritmo simples, mas bastante demorado. No entanto, para reduzir o tempo de computação e a complexidade de grandes transformações, um algoritmo mais complexo, mas que consome menos tempo, como a Fast Fourier Transform, pode ser usado. A FFT é uma implementação da DFT usada para o cálculo rápido da DFT. Em resumo, a FFT pode fazer tudo o que uma DFT faz, mas com mais eficiência e muito mais rápido que uma DFT. É uma maneira eficiente de calcular o DFT.